Cantor-Bernstein定理的一些笔记

发表于 2026-03-10 分类于数学，实变函数

本来想一个寒假自学好实变函数的，结果直接玩过去了。幸好学院开的课程似乎要求也不是很高，两节课就讲了一个大章。希望考试不要太难吧。

记录了关于Cantor-Bernstein定理的讨论，大多数是和Gemini知道交流时学到的，不过好像还挺有趣的，所以记一下。

Cantor-Bernstein 定理：

f : X ↦ Y, g : Y ↦ X, 且 f, g 为单射，则 ∃A ⊆ X, B ⊆ Y 对 A^∼ = X ∖ A, B^∼ = Y ∖ B, 有 f(A) = B, g(B^∼) = A^∼, 即有 X ↦ Y 的双射：

$$ \begin{aligned} F(x) = \begin{cases} f(x) &, x \in A \\ g^{-1}(x) &, x \in A^{\sim} \end{cases} \end{aligned} $$

因而 X ∼ Y.（X, Y 相互有单射，则 X, Y 对等）

构造最大分离集的证明：

定义算子： Φ(C) = g[Y ∖ f(C)], C ⊆ X.

若对 X′ ⊆ X, 有 Φ(X′) ∩ X′ = ϕ, 则称 X′ 为一个分离集。

考虑分离集之集 Γ, 令 A = ⋃_{X′ ∈ Γ}X′. 则 ∀X′ ∈ Γ, X′ ⊆ A. 再证 A 亦为分离集：
$$ \begin{aligned} &\forall X' \in \Gamma, \text{由于 } X' \subseteq A, \text{故 } \Phi(X') \supseteq \Phi(A). \\ &\text{由于 } X' \cap \Phi(X') = \phi, \text{故 } X' \cap \Phi(A) = \phi. \\ &\text{因而 } \bigcup_{X' \in \Gamma} X' \cap \Phi(A) = \phi, \text{即 } A \cap \Phi(A) = \phi. A \text{为分离集}. \end{aligned} $$

令 B = f(A), B^∼ = Y ∖ B, A^∼ = g(B^∼), 只要证 A ∪ A^∼ = X, A ∩ A^∼ = ϕ 即可.

而由于 A^∼ = Φ(A), A ∩ A^∼ = ϕ 显然.

若 A ∪ A^∼ ≠ X, 则 ∃x₀ ∈ X, x₀ ∉ A ∪ A^∼. 取 A₀ = A ∪ {x₀}.

由于 A₀ ⊋ A, Φ(A₀) ⊊ Φ(A), 故 A ∩ Φ(A₀) = ϕ. 根据 x₀ ∉ A^∼, x₀ ∉ Φ(A), 故 x₀ ∉ Φ(A₀) 即 Φ(A₀) ∩ A₀ = ϕ.

此时 A₀ 为分离集，且 A₀ ⊆ A 不满足，矛盾，故不存在这样的 x₀.

即 A ∪ A^∼ = X. 则原命题得证.

以上是周民强老师《实变函数论》中提供的对 Cantor-Bernstein 定理的证明. 我刚接触时感到十分混乱，不明白如此构造所谓分离集的方法是如何产生的. 之后简单了解了一些序理论中的概念，也许使用 Knaster-Tarski 不动点定理可以提供思路. 首先有必要了解几个概念：

① 对非空集合 P, 定义 P 上的二元关系，记作“≤”. 要求“≤”满足以下三条公理： * 自反性：∀x ∈ P, x ≤ x. * 反对称性：若对 x, y ∈ P, 同时有 x ≤ y, y ≤ x, 则 x = y. * 传递性：对 x, y, z ∈ P, 有 x ≤ y, y ≤ z, 则 x ≤ z.

那么，我们就称“≤”为 P 上的一个偏序关系. 含偏序关系的集合称为偏序集，用二元组 (P, ≤ ) 表示. 值得注意的是，偏序集不要求任取 P 中的两个元素都可以用偏序关系比较，用幂集举例：
$$ \begin{aligned} &\text{令 } (P, \le) \text{ 中的 } P \text{ 为 } \mathcal{P}(\{1, 2\}) = \{ \phi, \{1\}, \{2\}, \{1, 2\} \}, \text{ “}\le\text{”为包含关系“}\subseteq\text{”}. \\ &\text{此时 } \{1\} \text{ 和 } \{1, 2\} \text{ 当然有偏序关系 } \{1\} \subseteq \{1, 2\}, \text{ 但 } \{1\} \text{ 和 } \{2\} \text{ 却无法用 } \le \text{ 比较}. \end{aligned} $$

如果任两个元素都可以用这个关系比较，那偏序集就升级为全序集，比如 (ℝ, ≤ ), 其中 ℝ 为实数集，“≤”为实数的小于等于关系.

② 对于一个偏序集 (P, ≤ ), 取 P 的子集 S, 对 u ∈ P, 若 ∀x ∈ S, 有 x ≤ u, 则称 u 为 S 的一个上界. 上界集若有最小元素，则称其为 S 的上确界. 下确界定义与之处对称. 如果 P 的任一子集都有上、下确界（当然，仍然要求 (P, ≤ ) 为偏序集），则称 (P, ≤ ) 为一个完全格.

③ f : P ↦ P 是一个单调映射，如果 ∀x, y ∈ P 且 x ≤ y, 有 f(x) ≤ f(y).

有了以上几个概念，我们接着给出定理表述：

Knaster-Tarski 不动点定理：

对完全格 (L, ≤ ), f : L ↦ L 为一个单调映射，则 f 在 L 中至少有一个不动点，即 ∃x^* ∈ L, s.t.f(x^*) = x^*, 并且全部不动点之集和原偏序关系亦构成一个完全格.

存在性证明：

L 中的一些元素，在被 f 映射后成立关系 x ≤ f(x), 这些点被称为膨胀点. 取膨胀点之集：
$$ \begin{aligned} S = \{ x \in L : x \le f(x) \} \end{aligned} $$
此时 S ⊆ L, 由完全格定义知其有上确界，记为 u. 我们希望 f(u) = u.

先证 u ≤ f(u), 即 u 也是膨胀点：
$$ \begin{aligned} &\forall x \in S, \text{由 } u \text{ 为 } S \text{ 上确界有 } x \le u. \\ &\text{因为 } f \text{ 是单调映射，故 } f(x) \le f(u). \text{即 } x \le f(x) \le f(u). \\ &\text{此时 } x \text{ 是 } S \text{ 中任一元素，故 } f(u) \text{ 为 } S \text{ 的上界}. \\ &\text{根据 } u \text{ 是 } S \text{ 上确界，即最小上界，故 } u \le f(u). \end{aligned} $$

再证 u ≥ f(u)：
$$ \begin{aligned} &\text{对 } u \le f(u) \text{ 两侧用 } f \text{ 映射，得到：} f(u) \le f(f(u)). \\ &\text{发现 } f(u) \in L \text{ 亦为膨胀点，即 } f(u) \in S. \\ &\text{再由 } u = \sup S \text{ 知 } f(u) \le u. \end{aligned} $$

由此 u = f(u) 得证.

事实上，以上得到的 u 即为最大不动点. 若将证明中的膨胀点集改为收缩点集，并取其下确界，则可得到最小不动点. 关于 u 为最大不动点的证明如下，最小不动点的证明亦然.

最大不动点的证明：

设不动点之集为 P, ∀x ∈ P, 有 x = f(x), 可写成 x ≤ f(x). 因而发现 x ∈ S. 因此 x ≤ u.

关于不动点之集和原偏序关系构成完全格的证明，由于和 Cantor-Bernstein 定理的关系不大，因此先不讨论了. 得到了 Knaster-Tarski 定理，证明 Cantor-Bernstein 定理就较容易了：

使用不动点对C-B定理的证明：

设 𝒫(X) 为 X 的幂集，关于关系“⊆”构成完全格 (𝒫(X), ⊆ ). 定义 F(C) = X ∖ g(Y ∖ f(C)), C ⊆ X. 易有 F 是 𝒫(X) ↦ 𝒫(X) 的单调映射. 根据 Knaster-Tarski 不动点定理：
$$ \begin{aligned} \exists A \in \mathcal{P}(X), s.t. A = F(A). \end{aligned} $$
即：
$$ \begin{aligned} A \subseteq X, X \backslash A = g(Y \backslash f(A)). \end{aligned} $$
记 $\begin{cases} X \backslash A = A^{\sim} \\ f(A) = B \\ Y \backslash B = B^{\sim} \end{cases}$, 则可将结论整理为： $\begin{cases} A \cup A^{\sim} = X, A \cap A^{\sim} = \phi \\ B \cup B^{\sim} = Y, B \cap B^{\sim} = \phi \\ f(A) = B, g(B^{\sim}) = A^{\sim} \end{cases}$

由此可仿照分离集证明最后一部分定义双射，即得证.

在这份证明中，如果取 A 为最大不动点，则 A = ⋃_{X′ ∈ Γ}X′（Γ 为分离集之集）. 关于这一点理解，可以将 X 中的元素分为三类：第一类使用 f, g^− 1 来回映射，最后停在 X 中（因为不存在 y, s.t.x = g(y), 故没有办法用 g^− 1 回到 Y 里）；第二类最后停在 Y 中；第三类永不停留（可能存在环结构，或无项的无限后退）. 使用最大不动点或分离集方法得到的 A, 实质将第一类和第三类收为一体，用于 f 映射，只把第二类点划入 B, 使用 g^− 1 映射.